VAR

Vài tuần gần đây có nhiều bạn hỏi trên blog và qua email về mô hình VAR và SVAR, để tiết kiệm thời gian tôi trả lời chung lên đây. Một số câu hỏi cho thấy có bạn chưa thực sự nắm vững những kiến thức cơ bản về econometrics/time series chứ đừng nói gì VAR/SVAR, các bạn cần hiểu rằng tôi (hay bất kỳ ai) cũng không thể có magic gì giúp bạn hiểu và làm bài được nếu các bạn không có căn bản. Bài viết này chỉ nhằm mục đích giới thiệu cho các bạn một cái nhìn tổng quát để các bạn dễ học/đọc sách hơn thôi, nó không thể thay thế cho việc học nghiêm túc. Bản thân tôi cũng không phải chuyên gia về VAR/SVAR nên tôi rất welcome đóng góp của các bạn.


VAR, viết tắt của vector autoregression, là một mô hình econometric thuần túy về time series, bởi vậy đôi khi được gọi là unrestricted VAR (với nghĩa không có structure gì cả mà chỉ là một mô hình thống kê). Một mô hình VAR có dạng:

Y_t=C+BY_{t-1}+... + e_t

Bạn có thể dùng một phần mềm nào đó, vd Eviews, để estimate các parameter C, B của hệ phương trình này, đồng thời tính ra residual e_t và covariance matrix Σ. Nếu bạn chỉ dừng ở đây thì VAR sẽ hầu như không có giá trị gì trong kinh tế học vì rất hiếm khi bạn có thể viết một mô hình lý thuyết dưới dạng VAR như trên để estimate.

Thông thường một mô hình lý thuyết sẽ có các biến Y_t ở bên vế phải, vd consumption (C) là hàm số phụ thuộc vào income (I) hiện tại chứ không chỉ income trong quá khứ:

C_t=a+b*I_t+c*C_{t-1}+d*I_{t-1}+e_t

Mô hình có các biến contemporaneous (I_t) ở bên phải như vậy gọi là structural VAR (SVAR), có thể viết tổng quát thành  (chuyển các biến contemporaneous sang vế trái):

AY_t=C+BY_{t-1}+... + e_t

Những mô hình SVAR này rõ ràng phù hợp hơn với lý thuyết kinh tế nhưng không thể estimate được trực tiếp mà phải chuyển sang dạng VAR thông thường, thuật ngữ chuyên môn gọi là reduced form:

Y_t=A^{-1}C+A^{-1}BY_{t-1}+... +A^{-1}e_t.

hay

Y_t=C' + B'Y_{t-1} + ... + u_t    

Như vậy VAR thông thường và reduced form của SVAR là một và có thể estimate dễ dàng. Tuy nhiên cái khó là residuals của hệ phương trình reduced form lúc này (u_t) không còn là shocks đơn thuần của từng biến trong mô hình SVAR ban đầu nữa (e_t) mà là combination của các loại shock khác nhau (A^{-1}e_t). Điều này gây ra khó khăn cho việc phân tích tác động của chính sách hay các loại shock khác nhau vào từng biến số kinh tế. Do vậy một nhu cầu thực tế phát sinh sau khi estimate reduced form của một SVAR (tức là estimate một VAR bình thường) là phải bóc tách từng e_t ra khỏi u_t, lưu ý bạn không xác định được matrix A từ kết quả estimate VAR. Quá trình bóc tách này gọi là indentification.

Christopher Sims (Nobel kinh tế năm 2011) là người đầu tiên đưa ra một phương pháp bóc tách gọi là Cholesky decomposition nếu mô hình SVAR ban đầu có dạng recursive, nghĩa là nếu các biến y_t trong Y_t có thể sắp xếp theo thứ tự y1_t không phụ thuộc vào y2_t, y3_t..., rồi sau đó y2_t không phụ thuộc vào y3_t.... Sau đó nhiều phương pháp decomposition khác đã được đề suất, về cơ bản là đưa một số restriction vào trong matrix A để sau khi biến đổi sang reduced form hệ VAR thông thường có thể bóc tách e_t ra riêng biệt được (phương pháp Cholesky decomposition của Sims thực ra là áp đặt A có dạng lower diagonal matrix). Một số phương pháp phổ biến là Blanchard & Quah, King, Plosser, Stock & Watson, Gali... Gần đây một số tác giả như Uhlig đưa ra một dạng restriction mới gọi là sign restriction cũng nhằm mục đích này.

Một lưu ý cho các bạn dùng Eviews là phần mềm này coi Cholesky decomposition là một qui trình chuẩn cho VAR thông thường và SVAR là một phương pháp decomposition khác chứ không phân biệt như tôi bên trên (Eviews gọi decomposition là factorization). Trên nguyên tắc bất kỳ SVAR nào bạn cũng phải estimate bằng reduced form rồi sử dụng một số restriction để bóc tách e_t. Đối với giới academic economist, việc bóc tách e_t chủ yếu để tính impulse response function (IRF), nghĩa là tác động của một cú shock vào các biến y_t theo thời gian. Ngoài IRF, người ta còn quan tâm đến Granger causality test và variance decomposition, là các phân tích structural analysis khác cho SVAR. Với giới finance, nhu cầu tính IRF không quan trọng bằng forecast, bởi vậy decomposition không quan trọng lắm.

Một số links tôi tìm được trên Internet, nếu bạn nào có điều kiện nên đọc kỹ quyển Time Series Analysis của James Hamilton:

Stock & Watson
Matteo Iacoviello
Eric Zivot
Lutkepohl & Breitung
NBER lecture
Harald Uhlig
Stata example
Eviews example